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PREVEDERE L’IMPROBABILE *

Prima il terremoto, poi lo tsunami e per finire un disastro nucleare: il mondo ha assistito esterrefatto a quanto accadeva in Giappone. Tutti eventi poco probabili, difficili da prevedere anche per gli esperti, ma con conseguenze molto gravi. Spesso però le persone tendono a trarre conclusioni errate dall’osservazione di un numero ristretto di eventi casuali. E a chiedere di conseguenza modifiche alle regole del gioco. Ma alcuni errori di percezione possono costare molto cari. I dati sulle giocate del lotto danese lo confermano.

 

Una catastrofe nucleare o una crisi finanziaria sono eventi che hanno una bassa probabilità di verificarsi, ma quando si verificano hanno conseguenze disastrose. Per questo è difficile accettare che persino gli esperti facciano fatica a prevederli. Le difficoltà nascono da un’insufficiente comprensione delle cause e delle loro interazioni: le probabilità non sono indipendenti ma, al contrario, sono condizionate agli altri eventi.

DUE FALLACIE IN AZIONE

Gli esperti devono, per forza di cose, basare le proprie previsioni su quanto osservato in passato e ragionare per inferenza. Quando avviene un evento che era considerato estremamente improbabile, si sforzano di capire se il modello in uso debba essere rivisitato o meno, il che ha un’importanza cruciale per quanto concerne le raccomandazioni di policy. Ad esempio: quali raccomandazioni dovrebbero fornire gli esperti alla luce di quanto avvenuto a Fukushima o a seguito della recente crisi finanziaria? In questa fase, il cittadino medio resta disorientato e soggetto a una percezione distorta della casualità degli eventi più improbabili. La più comune è ricavare dall’osservazione di alcuni dati, la sensazione che esista uno schema fisso col quale gli eventi si ripetono, senza che questo sia vero e ciò potrebbe indurre a reazioni sproporzionate di fronte al verificarsi di tali eventi. Più precisamente, potremmo dire che molte persone tendono a trarre conclusioni eccessive sulla sottostante distribuzione della probabilità dall’osservazione di un numero ristretto di eventi casuali. Un intero filone di letteratura inaugurato da Amos Tversky e Daniel Kahneman ha individuato la fonte di questo problema nella cosiddetta "legge dei piccoli numeri". (1) Ma perché alcune persone sono così propense a deduzioni affrettate? Esistono due spiegazioni plausibili, ma apparentemente contraddittorie.
Si cade nella "fallacia del giocatore d’azzardo" quando ci si attende un repentino spostamento verso la media. Se, ad esempio, un giocatore osserva uscire per tre volte il rosso alla roulette, tende a pensare che la volta successiva debba uscire il nero ed è facilmente indotto a scommettere sul nero. (2)
La "fallacia della mano calda" ricorre invece quando, dopo aver osservato una serie di eventi inusuali e simili, un giocatore tende a credere che questa serie continuerà nel futuro.
Il termine "mano calda" deriva dal basket: ha la "mano calda" un giocatore che fa canestro molte volte di fila, cioè ha più probabilità di segnare al tentativo seguente. (3)
La più recente teoria comportamentale ha tentato di riconciliare l’apparente contraddizione tra i due tipi di conclusione errata con una spiegazione la cui intuizione sottostante può essere spiegata ricorrendo all’esempio della roulette. (4)
Una persona soggetta alla "legge dei piccoli numeri" crede che i piccoli campioni siano "simili" alla vera distribuzione, cioè che anche un piccolo campione possa essere sufficientemente rappresentativo. Quindi, per esempio, è indotta a credere che su sei giri di roulette tre debbano quasi necessariamente essere rossi e tre neri (ignoriamo per semplicità il verde) e se quanto osservato si discosta invece da questa regola del 50-50, si attende un immediato riequilibrio. Nel nostro esempio, se su sei giri consecutivi di roulette il rosso esce due volte, la persona è convinta che al terzo giro l’uscita del nero sia "dovuta", per ripristinare il rapporto 50-50. Supponiamo ora che la persona in questione dubiti della correttezza della roulette. Se osserva un evento improbabile (ad esempio, sei volte rosso su sei giri), inizia a dubitare del funzionamento della ruota della roulette perché una lunga serie non corrisponde a quella che nella sua percezione dovrebbe essere una sequenza casuale. La persona rivisita allora il proprio modello di generazione dei risultati, dando maggiore probabilità all’evento che vede accadere più spesso del previsto (nel nostro caso, l’uscita del rosso). La conclusione della teoria è che la stessa persona può credere in un primo momento, quando la serie è breve, nel repentino cambio di rotta (la fallacia del giocatore) e in un secondo momento, quando la serie è lunga, può credere nel prosieguo del trend al quale assiste (la fallacia della mano calda).

I NUMERI DEL LOTTO DANESE

In un recente studio abbiamo utilizzato dati raccolti dal Lotto per verificare la teoria. (5)
Il Lotto fornisce un’opportunità unica e particolarmente convincente per verificare questo genere di distorsioni. In primo luogo perché il processo di estrazione casuale è noto e si fa di tutto per renderlo trasparente: l’estrazione dei numeri dall’urna è trasmessa in diretta televisiva ed è soggetta al controllo dello Stato.
Dovrebbe inoltre essere chiaro a tutti gli osservatori che i numeri sono estratti in modo veramente casuale e che l’osservazione delle estrazioni passate non fornisce alcuna informazione riguardo a quelle future (ovvero le estrazioni sono totalmente indipendenti).
I dati del nostro studio, relativi alla lotteria di stato danese 7/36, sono particolarmente utili perché seguono individualmente i giocatori nel corso del tempo, il che ci permette di studiare come reagiscano alle estrazioni più recenti. (6) Abbiamo trovato evidenza che ricorrono entrambi i tipi di fallacia e che veramente esiste un legame tra loro, come ipotizzato da Rabin e Vayanos.
Molti giocatori, indipendentemente da tutto, tendono a scegliere gli stessi numeri settimana dopo settimana. Altri invece reagiscono alle estrazioni precedenti e spesso lo fanno evitando di giocare i numeri usciti la settimana prima, mentre preferiscono orientarsi sui numeri estratti per varie settimane di fila. In particolare, i dati al livello individuale ci permettono di mostrare che le due fallacie sono sistematicamente correlate: i giocatori inclini alla fallacia del giocatore d’azzardo sono inclini anche alla fallacia della mano calda. In una certa misura, le due fallacie esistono e coesistono (cioè alcuni individui non sono soggetti ad alcun tipo di fallacia, altri sono più soggetti a una che all’altra, altri ancora a entrambe), ma sono sufficientemente diffuse e sistematiche da permetterne l’individuazione anche a livello aggregato.
La figura 1 mostra la percentuale di tutte le "reazioni" (ovvero la mossa successiva a quella di un’estrazione) come una funzione del numero di settimane consecutive di estrazione del numero. Per esempio, la prima barra mostra che se un dato numero non è stato estratto nella settimana precedente (un evento probabile), i giocatori sono relativamente indifferenti se sceglierlo oppure no (la probabilità che lo giochino o meno è la stessa). La seconda barra mostra che se un dato numero è stato estratto la settimana precedente, avrà meno probabilità di essere giocato (di circa due punti percentuali): è una dimostrazione della presenza della fallacia del giocatore d’azzardo a livello aggregato. Le successive barre sulla destra mostrano che se un dato numero viene estratto varie volte di fila (un evento improbabile), tende a diventare sempre più "popolare". I risultati sono in linea con le recenti scoperte dai laboratori sperimentali. (7)

Figura 1: Scelte in percentuale di un dato numero in funzione del numero di settimane consecutive in cui è stato estratto (include intervalli di confidenza del 95 per cento).

 

ERRORI CHE COSTANO

Tutto ciò può semplicemente apparire assurdo, ma oltretutto è anche costoso, per due ragioni. I giocatori che più sono soggetti alle due fallacie sono anche quelli che generalmente perdono di più. Questi giocatori infatti comprano sistematicamente più biglietti e, con un tasso di pagamento del lotto danese del 45 per cento, inevitabilmente perdono, in media, più denaro. Probabilmente, percepiscono in maniera errata anche le possibilità (scarse) di vincita: nel caso danese la probabilità di vincere è una su otto milioni. Vincono poi di meno: non perché abbiano meno probabilità di vincere, ma perché tendono a scegliere esattamente gli stessi numeri di altri giocatori soggetti alle stesse fallacie. E quindi, quando vincono, vincono mediamente meno denaro perché la lotteria ha una struttura "pari-mutuale" per la quale il premio in denaro è fisso e viene suddiviso tra i vincitori.
Ne è un esempio estremo il caso del lotto bulgaro 6/42: nel settembre 2009 per due settimane consecutive è stata estratta la stessa esatta sequenza di numeri. Nessun giocatore aveva vinto alla prima estrazione, ma ben diciotto persone indovinarono la seconda. Così, i diciotto vincitori hanno dovuto dividersi il jackpot, perdendo circa il 94 per cento del premio rispetto a quello che avrebbero vinto se fossero risultati l’unico vincitore.
Utilizzando il gioco del lotto, il nostro studio mostra che alcune persone tendono a trarre conclusioni molto forti basandosi su poche osservazioni e che le credenze sbagliate sono comuni e sistematiche quando cercano di prevedere eventi improbabili. In una prospettiva più generale, questi errori possono indurre l’opinione pubblica e i media a chiedere forti cambiamenti di policy in risposta a eventi altamente improbabili. In questi casi, i politici sono così chiamati a rispondere alla domanda popolare di nuove regole, ma il regolatore dovrebbe stare bene attento alla comune tendenza a trarre conclusioni sbagliate sulla regolarità di eventi rari e dovrebbe studiare con cura i dati osservati, per comprendere se davvero giustificano una correzione di rotta.

 

(1) Kahneman, D. e Tversky, A. (1971), "Belief in the law of small numbers", Psychological Bulletin 76: 105–110.
(2) Croson, R. e Sundali, J. (2005), "The gambler’s fallacy and the hot hand: Empirical data from casinos",Journal of Risk and Uncertainty 30: 195–209.
(3) Camerer, C. (1989), "Does the basketball market believe in the hot hand?",American Economic Review 79: 1257–1261.
(4) Rabin, M. e Vayanos, D. (2010), "The gambler’s and hot-hand fallacies: Theory and applications", Review of Economic Studies 77: 730–778.
(5) Jørgensen, C.B., Suetens, S. e Tyran, J.-R. (2011), "Predicting Lotto Numbers", Cepr Discussion Paper 8314.
(6)Anche Clotfelder e Cook avevano utilizzato dati del lotto per studiare la fallacia del giocatore, ma non avevano potuto osservare le scelte individuali. Clotfelder, C. and Cook, P. (1993). "The gambler’s fallacy in lottery play", Management Science 39: 1521–1525.
(7) Asparouhova, E., Hertzel, M. and Lemmon, M. (2009), "Inference from streaks in random outcomes: experimental evidence on beliefs in regime shifting and the law of small numbers", Management Science 55: 1766–1782.

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17 commenti

  1. Andtaf

    Il tema è sicuramente interessante. Non condivido però il paralello tra eventi improbabili e i due casi citati. Infatti, affermare: "In una prospettiva più generale, questi errori possono indurre l’opinione pubblica e i media a chiedere forti cambiamenti di policy in risposta a eventi altamente improbabili", ci porta ad una valutazione parziale degli eventi. Primo perché la probabilità del manifestarsi di una crisi finanziaria non è così bassa: gli USA in meno di 100 anni (cioè praticamente 1 ogni 2 generazioni) ne hanno sperimentate almeno due devastanti, e molte altre (come per esempo la bolla della New economy) che per molte ragioni non sono state altrettanto importanti, ma che comunque si sono manifestate. In un recente lavoro, Rogoff e Reinhart rivisitano gli ultmi 200 anni di storia e verificano come le crisi non sono poi eventi così remoti. Inoltre, vi è una seria correlazione fra determinati comportamenti e la manifestazione delle crisi finanziarie. Per quel che riguarda lo tsunami, non ho dati, ma pare siano state ritrovate pietre miliari in prossimità della linea massima di allagamento che avvertivano di non costruire oltre. Questa cosa, si presta alla seconda delle mie osservazioni: il fatto che l’evento sia improbabile giustifica l’esposizione al rischio? Chiarifico con un esempio: anche ammettendo che l’esplosione del Vesuvio sia un evento con una probabilità remota (cosa comunque da dimostrare), vale la pena costruire case praticamente sul cratere?

  2. Sandro

    Molto interessante, peccato che la roulette e il lotto non siano molto indicativi della distribuzione di eventi estremi naturali. Nel caso di Fukushima le autorità hanno chiaramente sottostimato il rischio di terremoti di tale magnituto. Mi sembra più opportuna una revisione dei modelli di rischio che un generico consiglio di mantenere la calma. Cordiali saluti.

  3. Stefano Zapperi

    Non c’è nulla da obiettare al contenuto tecnico di quest’articolo e cioé sul fatto che non si possa ricostruire la distribuzione di probabilità di un fenomeno casuale dall’osservazione di pochi eventi. Che cosa c’entra tutto questo però con la crisi finanziaria? Se la finanza fosse come il Lotto allora non dovremmo affannarci a regolarla (se al Lotto non esce il 47 per dieci anni non dobbiamo cambiarne le regole). Il problema è che la crisi finanziaria non è un evento raro di una sequenza casuale, ma l’effetto di azioni e policies ben precise. Negare tutto questo parlando del Lotto ha poco a che fare con la scienza e molto con l’ideologia.

  4. Mauro Poggi

    Non ho capito come tutto ciò possa aiutare, o almeno consolare, gli abitanti di Fukushima.

  5. Paolo Quattrone

    L’articolo mi sembra un po’ passè, ovvero si basa su una idea di scienza "moderna" dove ciò che conta è la normalità nel nome della quale si marginalizza il diverso, il non "normale" per l’appunto. Questa visione della scienza ha portato benefici ma anche disatri gravi, la banalità del male di Auschwitz non è altro che l’estremizzazione di questo modo di pensare (e chiaramente non lo dico io, ma tutta la letteratura sulla Shoa). Ma anche in statistica, per le previsioni del tempo, ormai si guarda più agli eventi rari ma che hanno effetti disastrosi, oppure non alla temperatura media ma alla frequenza dei picchi. Insomme Gauss è un pensatore moderno, noi ormai siamo nell’era post-post moderna (or new-medieval, in senso buono). Ma quando se ne renderanno conto gli econometrici neoclassici?

  6. Marcello Basili

    Associare le evidenze empiriche sul gioco del lotto alle conclusioni-esortazioni riportate nell’articolo è quanto meno improprio. Si inzia parlando di eventi estremi (incidenti nucleari, tsunami distruttivi ecc.) e si argomenta presentando dati sul gioco del lotto. Cosi facendo si trattano come simili se non uguali eventi che appartengono a contesti diversi. Nel primo caso si parla di eventi con probabilità piccolissime e conseguenze disastrose, cioè di eventi che vengono comunemente definiti ambigui, nel secondo di gioco delle chance, cioè di una chiara e definita situazione di rischio, in cui l’assessment è possibile sulla base di una semplice combinazione di prob con conseguenza. Le due situazioni sono chiaramente incomparabili! Inoltre i cosiddetti esperti sono in genere immuni da violazioni sistematiche della razionalità.

  7. f.zadra

    In materia di probabilità anche le analogie sono molto pericolose; non vedo come si possa paragonare la probabilità di verificarsi di un certo numero di eventi naturali con eventi collegati al lotto, alla roulette, alla borsa etc. Ed è del tutto illusorio pensare che la frequenza del verificarsi di fenomeni naturali – in contemporaneità o meno – sia scaglionata nel tempo,nel senso che se oggi si è verificata un’eruzione sarà difficile che se ne verifichi un’altra domani. Si possono verificare tre tsunami di seguito accompagnati magari da un terremoto e poi più nulla per trecento anni; non c’è correlazione dal punto di vista delle probabilità. Diverso è il caso se si prendono in considerazione fatti e cause che alterano la probabilità casuale :nel caso specifico del Giappone si è in una zona dove per motivi geologici e meteorologici tsunami e terremoti non sono infrequenti; le cosidette leggi delle probabilità sono alterate da questi fattori. f.zadra

  8. MassimoDec

    Per quanto riguarda il lotto, ok sono fatti noti… e allora ? Per quanto riguarda il link a Fukushima, l’approccio secondo me è errato, sia dal punto di vista fattuale, sia metodologico… saluti

  9. Massimo

    Considerazioni totalmente fallate, sugli eventi catastrofici si fà un’analisi dei rischi, non una semplice osservazioni di eventi casuali. Avete totalmente ignorato la seconda variabile, cioè oltre alla probabilità di occorrenza c’è la gravità dell’evento, un rischio di un evento altamente improbabile ma catastrofico finisce giustamente tra quelli da evitare in ogni modo, è un comportamento assolutamente corretto.

  10. luciano pontiroli

    Ci sono eventi certi, di cui si ignora solo quando avverranno, ed eventi improbabili nel senso che non si sa se avverranno né quando. L’eruzione del Vesuvio, secondo i sismologi, è certa ma non è possibile prevedere quando avverrà. Terremoto e tsunami insieme forse sono meno certi: se poi è vero che lo tsunami a Fukushima era di dimensioni eccezionali, allora si potrebbe considerarlo imprevedibile o del tutto improbabile. Quanto sopra per dire che, in effetti, le cose possono essere molto più complesse di quanto sembrano ad alcuni commentatori. L’esempio del lotto, forse, non è scelto bene: ma illustra gli errori ai quali l’opinione comune è esposta.

  11. Armando Pasquali

    L’obiettivo degli autori è evidente: convincerci che non c’è da preoccuparsi. La tesi è che l’opinione pubblica, in presenza di rischi elevati, sbaglia sempre perché ragiona come gli abitué del gioco del lotto. Invece gli economisti e gli scienziati, abituati a calcolare le probabilità, hanno sempre ragione. Io la penso esattamente all’opposto. Ovvero che gli economisti e gli scienziati hanno quasi sempre torto. I rischi di cui si parla, infatti, hanno a che fare con le vite umane, qualcosa che non può essere ridotto a numeri, a probabilità, a soldi. L’economia e la scienza, espulsa l’etica dal proprio orizzonte, sono ormai ben poca cosa, come dimostra questo articolo, completamente privo di fondamento perché basato su un’analogia del tutto arbitraria.

  12. Marco

    Gli autori spostano il focus finale dalla riduzione del guadagno dei giocatori irrazionali verso una affermazione a favore di una minore influenzabilità/maggiore razionalità del policy maker. Per arrivare fino in fondo si sarebbe potuto aggiungere che, nel caso del lotto proposto, l’irrazionalità del tipo "mano calda" riduce il pay-off non solo del vincitore irrazionale, ma anche di quello razionale, non influenzato dalla sequenza estratta. Al contrario un minimo vantaggio c’è per il giocatore razionale in presenza di fallacia del giocatore d’azzardo. Dato che l’irrazionalità esiste, questa influenza tutti. Ma nell’esempio proposto una irrazionalità danneggia sia i giocatori razionali sia quelli irrazionali, l’altra invece migliora il vantaggio atteso dei giocatori razionali, che non si lasciano influenzare dalle giocate precedenti. Ovviamente gli eventi rari di cui si parla sono però di tipo diverso dal gioco del lotto, e ci sono azioni pubbliche che possono essere posto in essere comunque per ridurre o evitare danni da eventi difficilmente prevedibili. L’esempio del lotto mi sembra più interessante per l’analisi di altro tipo di decisioni/comportamenti, più ricorrenti.

  13. Massimo Lanfranco

    Per quanto l’articolo sia interessante non trovo che sia corretto accostare il gioco del lotto ed i disastri naturali, Discorso ben diverso è invece per quanto riguarda l’ultimo paragrafo che accosta lotto e politica; qui si che gli attori politici sovrastimano gli effetti degli eventi rari. I disastri naturali sono sempre prevedibili, forse statisticamente improbabili ma comunque gestibili da corrette analisi di rischio. È vero che spesso prevalgono comportamenti da “free rider” e che questi sono incentivati dall’errata percezione della probabilità degli eventi estremi. Il cittadino comune (e non solo) tende a pensare che, per esempio, se 10 anni fa c’è stata un’alluvione con ricorrenza 200 anni non ci sarà di nuovo per i prossimi 190 anni, e quindi costruisce beatamente la sua nuova casa in area esondabile. Purtroppo, qui si come nel lotto, ogni autunno ci sono le stesse probabilità che succeda di nuovo.

  14. Gaetano Proto

    Spiace dirlo, ma l’articolo è fuorviante, come è stato già notato. L’incidente nucleare di Fukushima si è verificato in seguito a una catastrofe naturale (sisma + tsunami) che non è stata senza precedenti nei suoi parametri (a differenza, per dire, di un ipotetico sisma superiore ai massimi della scala Mercalli). Nel campo delle catastrofi, “molto improbabile” è un ordine di grandezza che non autorizza a ignorare i rischi più gravi e a fare tutto il possibile per prevenirli. In realtà, la catastrofe di Fukushima ha rimesso in discussione la presunta sicurezza del nucleare, che dopo Cernobyl veniva data per assodata. L’allarme collettivo riflette questo risveglio traumatico e ha ben poco di irrazionale, a differenza di quanto insinuano gli autori (e tutti coloro che lo bollano come “emotività”).

  15. Massimo Martini

    Su questo argomento consiglio vivamente la lettura di due bellissimi e famosissimi libri di Taleb Nassim “Giocati dal caso” ed “Il cigno nero”

  16. marco bertozzi

    Condivido l’impressione di alcuni: la nota convince poco. anch’io invito a leggere Nassim Taleb

  17. Gabriele

    E’ più facile prevedere il comportamento di esseri dotati di libero arbitrio che il ripetersi di una qualsiasi catastrofe naturale. Il punto è proprio questo : la sequenza incriminata non è terremo + tsunami, ma terremoto x tsunami x disastro nucleare. Se riteniamo che la probabilità che i nostri sistemi di sicurezza falliscano sia pari a zero, tutta la sequenza di eventi vale zero e, pertanto, non vale la pena predisporre alcuna ulteriore cautela, anche se la magnitudo attesa fosse catastrofica. In questo consiste la nemesi di Fukushima, quale necessaria conseguenza alla ubris di esseri che si ergono a dei, salvo poi ritrovarsi, ad ogni occasione importante, a confrontarsi con la loro vera natura di nani dispersi su un pianeta errante nello spazio profondo e spaventoso. In ciò consiste l’ennesimo, reiterato quanto inutile insegnamento di Fukushima : la fallacia del giocatore d’azzardo non riguarda la natura degli eventi esterni, ma la nostra costante pochezza che, di tanto in tanto, in modo certo, ci schianta fragorosamente contro le mura dell’ignoto.

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