La sfera umana è costituita dalla popolazione mondiale. Assegnando un metro cubo a ogni persona, il volume della sfera è pari a tanti metri cubi quanto numerosa è la popolazione. la velocità con cui cresce il raggio della sfera umana è crescente nel tempo. A una certa data la crescita del raggio della sfera tenderà a superare la velocità della luce. Cosa impossibile, almeno per la teoria della relatività ristretta. Quanto tempo occorre perché si raggiunga questo limite? Molto meno di quanto si possa immaginare senza fare calcoli.

La sfera umana è costituita dalla popolazione mondiale. Assegnando un metro cubo a ogni persona, il volume della sfera è pari a tanti metri cubi quanto numerosa è la popolazione. Con sei miliardi di persone la sfera umana misura 6 km3. Per cui ha un raggio r0= 1,12725 km (poichè V = (4/3) pgreco r 3)

Se la popolazione cresce al tasso costante g, il volume della sfera umana cresce allo stesso tasso e il suo raggio al tasso (1/3)g In simboli, (1/r)(dr/dt) = (1/3)g, per cui r = r0 e(gt/3). Allora, dr/dt =(1/3)gr0 e(gt/3).
Quindi, la velocità con cui cresce il raggio della sfera umana crescente nel tempo. Incontrerà il limite fisico della velocità della luce. Ossia, a una certa data la crescita del raggio della sfera tenderà a superare la velocità della luce, cosa impossibile (almeno per la teoria della relatività ristretta). La popolazione non potrà più crescere al tasso g.
Quanto tempo occorre perchè si raggiunga questo limite? Dipende dal valore di g. Però molto meno di quanto si possa immaginare senza fare calcoli.

Due casi

Considero due casi: ga = 5% l’anno (che corrisponde ad un raddoppio della popolazione ogni 14 anni circa, cosa non impossibile se ci si impegna) e gb = 1% l’anno (raddoppio ogni 69 anni circa, ossia crescita inferiore alla esperienza storica recente). La velocità della luce v = 300.000 km/sec = 9,46 1012 km/anno. Pongo r0 = 1,12725 km. La condizione v =(1/3)gr0 e(gt/3) implica t = (3/g)ln[3v/(gr0)] e si ottiene, nei due casi, ta = 2031 anni e tb = 10639 anni.
Perciò, se la popolazione dovesse crescere al tasso costante del 5 per cento l’anno, il raggio della sfera umana sbatterebbe contro il limite della velocità della luce tra 2031 anni (quando la popolazione sarebbe pari a 7,66 1053, un numero impronunciabile, e il raggio della sfera pari a 568.000 miliardi di chilometri); se al tasso costante dell’1 per cento l’anno, tra 10639 anni (con popolazione pari a 9,57 1055 e raggio pari a 2.840.000 miliardi di chilometri).

P.S. Avevo già scritto quanto sopra quando ho trovato che Pareto (Manuale di Economia Politica, 1906, Cap. VII, §§ 65-67) aveva già fatto un calcolo simile, limitandosi però alla superficie della terra, senza quindi arrivare alla velocità della luce.

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